Nguyên hàm là gì, nguyên hàm của căn x là gì? Tính chất của các nguyên hàm và bảng công thức của chúng ra sao. Đây là câu của đa số nhiều bạn học sinh lớp 12 hiện nay. Chúng tôi sẽ chia sẻ đến các bạn tất tần tật những điều liên quan đến nguyên hàm ngay trong bài viết dưới đây. Hãy cùng xem là tổng hợp lại kiến thức với chúng tôi bạn nhé.
Nguyên hàm là gì? Nguyên hàm của căn x là gì?
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Bảng nguyên hàm
Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
Bảng nguyên hàm mở rộng
Các phương pháp tính nguyên hàm
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản
Dạng 2. Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
Đổi biến tổng quát
- Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
- Bước 2: Tính vi phân hai vế dt = φ'(x)dx
- Bước 3: Biểu thị f(x)dx = g[φ(x)]φ'(x)dx = g(t)dt.
- Bước 4: Khi đó I=∫f(x)dx =∫g(t)dt =G(t)+C
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số I=∫1xlnx+1√dx
Hướng dẫn giải
- Bước 1: Chọn t= ⇒ =lnx+1
- Bước 2: Tính vi phân hai vế dt = – 3sinx.dx
- Bước 3: Biểu thị ∫f(x)dx=– ∫ .dt
- Bước 4: Khi đó I=– ln|t|+C =– ln|1+3cosx|+C
Đổi biến dạng 1
Đổi biến dạng 2
Dạng 3. Nguyên hàm từng phần
Nguyên tắc chung để đặt u và dv: Tìm được v dễ dàng và ∫v.du tính được
Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x
Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt {u=ln(2x), dv=x.dx ⇒ du= , v=
Bước 2: Ta thấy F(x)=∫f(x)dx
= .ln(2x)–∫ . dx
= .ln(2x)– +C = .(ln(2x)– )+C
Dạng 4. cách tính nguyên hàm bằng máy tính
Cho nguyên hàm ∫f(x)dx = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)
Hướng dẫn
Để giải, mình sẽ hướng dẫn cách bấm máy tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:
Bước 1: Nhấn shift d/dx(F(x))|x=
Bước 2: Nhấn phím Calc nhập X = 2.5
Bước 3: Đánh giá nghiệm
- Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn
Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = là
- 1/2.ln|2x+3|+C
- 1/2.ln(2x+3)+C
- ln|2x + 3| + C
- .ln|2x + 3| + C
Hướng dẫn bấm máy tính
Bước 1: Nhập vào máy tính casio d/dx( .ln(|2x+3|))|x=X–
Bước 2: CALC X = -2
Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.
Kết luận: Chọn đáp án A.
Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm dạng [I=∫P(x)sinaxdxI=∫P(x)cosaxdx với P(x) là một đa thức
Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Ta có: I=∫P(x)cosaxdx =A(x)sinax+B(x)cosax+C (1),
trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
- Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1): P(x)cosax
=A′(x)cosax–A(x)a.sinax +B′(x)sinax+aB(x)cosax.
- Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x) và B(x).
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về nguyên hàm, nguyên hàm của căn x mà các bạn nên biết. Mong rằng với những kiến thức chúng tôi chia sẻ trên đây các bạn có thể áp dụng được, giúp các bạn giải bài nhanh hơn. Đây là những công thức mà chúng tôi đã nghiên cứu và mở rộng, hãy thử áp dụng nó bạn nhé. Chúc các bạn học tốt.
